Jonathan Kelly erhielt seinen ersten Oboenunterricht an seiner Schule. Er studierte Geschichte an der Universität von Cambrige, bevor er sich an der Royal Academy of Music in London bei Celia Nicklin und am Pariser Conservatoire bei Maurice Bourgue zum Berufsmusiker ausbilden liess. 

1993, unmittelbar nach Abschluss seines Studiums, wurde Jonathan Solooboist im City of Birmingham Symphony Orchestra, dem er während zehn Jahren angehörte und mit dem er häufig als Solist spielte. Er gastierte ausserdem regelmässig beim Chamber Orchestra of Europe. 

2003 ging sein Jugendtraum in Erfüllung: Er wurde Solooboist bei den Berliner Philharmonikern. Seitdem trat er als Solist in der ganzen Welt auf und gab auch zahlreiche Meisterklassen. Er ist ein aktiver Kammermusiker, sowohl mit seinen Orchesterkollegen, etwa den Bläsern der Berliner Philharmoniker, als auch mit internationalen Gastsolisten. Mit dem Scharoun Ensemble Berlin nimmt er regelmässig am Zermatt Festival teil und ist Mitglied des weltbekannten Ensemble Wien-Berlin. Mit den Berliner Barock Solisten unternahm er ausserdem internationale Tourneen als Solist. 

Jonathan unterrichtete viele Jahre an der Hochschule für Musik Berlin ‚Hanns Eisler‘ und an der Karajan Akademie der Berliner Philharmoniker; zahlreiche seiner Studentinnen und Studenten gewannen renommierte internationale Wettbewerbe und haben heute Positionen bei Spitzenorchestern inne. Er ist Gastprofessor an der Royal Academy of Music in London, deren Fellow er ist. Darüber hinaus hat Jonathan das Vergnügen, als Interpret und Lehrer am Pacific Music Festival in Japan teilzunehmen.